Meu nome é Monte Carlo, resolvo todos os seus problemas

Como todo grande método eu nasci fora do trabalho. Meu pai, Stanislaw Ulam esta doente e jogava paciência para passar o tempo. Paciência é um jogo onde as chances de vitoria são baixas e meu pai queria saber qual a chance de vitoria com um deck padrão de 52 cartas. Após muitas tentativas de resolver o problema analiticamente ele desistiu e pensou que seria mais simples apenas simular vários jogos e verificar o número de sucessos. No final desses raciocino o inconsciente do meu pai conversou com o consciente e lembrou que o mesmo poderia ser aplicado no trabalho sobre a difusão de nêutrons e muitos outros no campo da matemática e física. Entendendo a importância do que havia imaginado, meu pai correu para o meu futuro padrinho John Von Neumann que me batizou como Monte Carlo, devido a minha necessidade de números aleatórios que o lembrava do casino de Mônaco.

Fiquei bastante popular durante o projeto Manhattan pelo desenvolvimento da bomba de hidrogênio. Hoje em dia todo mundo me conhece junto com meus amigos Markov e Metropolis. Com eles resolvemos integrais que seriam impossíveis, campos inteiros se tornaram viáveis e são populares novamente, como a estatística Bayesiana e o método de máxima verossimilhança usados em resolução de problemas complexos. Meu uso só deve crescer no mundo científico, afinal os problemas sempre ficam mais complexos com tempo.

Espero que a lorota acima tenha agradado porque agora começa a matemática de verdade da publicação. Como descrito acima o método surgiu para solucionar problemas que são muito complicados analiticamente. Durante o projeto Manhattan eles não podiam ficar explodindo uma nova bomba para cada nova possibilidade, assim como Ulam não estava conseguindo calcular a probabilidade de vencer um jogo de paciência. Com isso uma solução numérica pareceu mais simples, vamos dar um exemplo de como calcular o valor de π.

Irei dar um exemplo simples usando a imagem abaixo para descrever a lógica da solução:

quadrado e circulo

Temos um quadrado com o circulo no seu interior. O circulo possui raio r e área \pi r^2, o quadrado por usa vez possui lado 2r e área (2r)^2. Podemos então calcular a proporção de área que o circulo ocupada dentro do quadrado realizando uma divisão:

p = \frac{\pi r^2}{(2r)^2}

Desenvolvendo a equação e isolando a incógnita \pi:

\pi = 4p

Ficamos travados na solução acima, não temos o valor de \pi e também não temos o valor de p. A solução é descobrir o valor de p. Nós temos bastante informação sobre o problema e podemos elaborar algo bastante criativo para solucionar a falta da proporção para descobrir o valor de \pi.

Utilizando a nossa imagem acima podemos calcular a proporção realizando arremessos de dardos dentro da área do quadrado. Todos os dardos estão dentro do quadrado, mas um grupo menor desses cai dentro da área do circulo. Assim podemos definir a proporção como:

p = \frac{\text{dentro do circulo}}{\text{N. de arremessos}}

A nossa acurácia na estimativa de p\pi depende do nosso número total de arremessos. A imagem abaixo foi criada com 10000 arremessos e o \pi = 3.1228.

quadrado, circulo e lançamentos

Esse processo de arremessos em posições aleatórias com a finalidade de solucionar um problema por aproximação é um exemplo da aplicação do método de Monte Carlo. Existem vários exemplos como o paradoxo de Monty Hall ou o próprio problema do jogo de paciência de Ulam. O que precisa ser lembrado é que programas de estatística geralmente não possuem uma forma de simular o seu problema, isso torna a programação algo importante para pesquisadores que não desejam ser limitados. O código fonte em R pode ser encontrado no meu repositório de exemplos: https://github.com/dvdscripter/r-snippets.

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